Задача

Найти статический момент части цилиндра $x^{2}+y^{2}=2Ry$ , лежащей между плоскостями $z=0$ и $z=c$ , относительно плоскости $xz$ , если плотность $\rho=x+z$ .

Решение. Обозначим поверхность через $\Gamma$ , а искомый момент через $M$ . Параметризуем поверхность при помощи равенств

$$x=R\cos\varphi ,\quad y=R+R\sin\varphi , \quad z=z , \quad \varphi\in [0,2\pi),\quad z\in[0,c] .$$

Тогда

$$E =\left( \frac{\partial x}{\partial\varphi} \right)^{2}+ \left( \f... ...hi} \right)^{2}+ \left( \frac{\partial z}{\partial\varphi} \right)^{2}=R^{2} ,$$

$$F = \frac{\partial x}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial x}{\part... ... z}+ \frac{\partial z}{\partial \varphi}\cdot\frac{\partial z}{\partial z}=0 ,$$

$$G = \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)^{2}+ \left(\frac{\... ...}{\partial z} \right)^{2}+ \left(\frac{\partial z}{\partial z} \right)^{2}=1 ,$$

откуда

$$\begin{multline*} M= \iint\limits_{\Gamma}y (x+z) dS= \iint\limits_{[0,2\pi]\ti... ...c\cos\varphi+ \frac{c^{2}}{2}\Bigr) d\varphi= \pi R^{2}c^{2} . \end{multline*}$$

$\qedsymbol$