Задача

Найти момент инерции однородного параболоида $x^{2}+y^{2}=2cz ,\;0\leqslant z\leqslant c$ , плотности $\rho$ относительно оси $OZ$ .

Решение. Обозначим параболоид через $\Gamma$ , момент через $M$ . Тогда

$$\begin{multline*} M= \iint\limits_{\Gamma} (x^{2}+y^{2})\rho dS= \rho \iint\lim... ...\sqrt{c^{2}+t} dt\ = \frac{4\pi}{15} (1+6\sqrt{3})c^{4}\rho . \end{multline*}$$

$\qedsymbol$