Ответ:

К алгебраическим операциям над формами относятся сложение форм, умножение их на функции и внешнее умножение форм.

0-формы на плоскости — это просто функции двух переменных.

1-формы на плоскости это линейные функции, зависящие от точки плоскости. Они образуют двумерное линейное пространство с базисом $dx,dy$ и координатами, зависящими от точки плоскости.

2-формы на плоскости это билинейные антисимметричные функции, зависящие от точки плоскости. Они образуют одномерное линейное пространство с базисом $dx ∧ dy$ и координатами, зависящими от точки плоскости. Значение базисной 2-формы на паре векторов $(v, w)$ равно определителю, составленному из координат этих векторов:

| | ||v1 w1 || dx ∧ dy(v,w ) = |v2 w2 |.

Внешнее умножение $∧$ двух 1-форм это 2-форма, определенная равенством

(Adx + Bdy )∧ (Pdx + Qdy ) = (AQ - BP )dx ∧ dy.

Эта операция линейная и антикоммутативная:

(α + β) ∧γ = α ∧ γ + β ∧γ, α∧ β = - β ∧ α,

где $α,β,γ$ — некоторые 1-формы. В частности, $α ∧ α = 0$ .