Ответ:

Формула Грина связывает интеграл по области от дифференциала 1-формы с интегралом по границе от самой 1-формы

∫ ∫∫ ( ) ∂Q- ∂P- P dx + Qdy = ∂x - ∂y dx ∧dy, ∂D D

при этом, область и ее граница должны быть ориентированы согласованно, что означает, что при обходе границы область должна лежать слева. Введем единичный касательный вектор к границе $τ = (cosα,sinα)$ , где угол $α$ образован направлением вектора $τ$ и осью абсцисс. Запишем криволинейный интеграл 2 рода слева через криволинейный интеграл 1 рода и интеграл от 2-формы справа через двойной интеграл, получим

∫ ∫∫ ( ∂Q ∂P ) (P cos α+ Q sin α)dl = ∂x-- ∂y- dxdy, ∂D D

Заметим, далее, что вектор $n = (sinα,- cosα)$ является вектором внешней нормали к границе $∂D$ . Введем векторное поле $F = (Q,- P)$ . Тогда формула Грина перепишется в виде

∫ ∫∫ F ⋅ndl = divFdxdy. ∂D D

Это и есть требуемое равенство, поскольку обе его части уже не зависят от ориентации.