Вопросы экзамена по теории групп и алгебр Ли

  1. Топологические группы. Обзор основных топологических свойств. Теорема о левой (правой) равномерной непрерывности непрерывных функций с компактным носителем на группе.
  2. Теоремы об отделимости для топологических групп.
  3. Топология однородных пространств и фактор групп.
  4. Компактность в однородных пространствах и группах.
  5. Связные топологические пространств. Связность топологических групп.
  6. Компактность и связность матричных групп.
  7. Элементарный интеграл. Элементарный интеграл на локально компактных пространствах.
  8. Существование элементарного интеграла Хаара.
  9. Теорема Стоуна-Вейерштрасса.
  10. Теорема Фубини.
  11. Теорема о единственности интеграла Хаара.
  12. Понятие об интеграл Даниеля.
  13. Критерий компактности группы на языке интеграла Хаара.
  14. Модулярная функция.
  15. Приемы построения интеграла Хаара.
  16. Интеграл Хаара на группе $SO(3)$ в углах Эйлера.
  17. Использование представлений для построения интеграла Хаара.
  18. Мера Хаара на $SO(3)$ через угол вращения.
  19. Мера Хаара на однородных пространствах.
  20. Групповая алгебра. Теорема о множестве положительной меры в локально компактной группе.
  21. Конечномерность неприводимых представлений компактных групп.
  22. Теорема об ортогональности неприводимых представлений в случае компактных групп.
  23. Регулярные представления компактной группы.
  24. Характеры представлений компактной группы.
  25. Теорема Петера--Вейля.
  26. Неприводимые представления группы $SO(3)$.
  27. Определение группы Ли. Гладкость операции обращения.
  28. Преобразование Кели как картирующее.
  29. Группа $GL(n,\mathbb{R})$ и её топология.
  30. Полярное разложение и разложение Грамма.
  31. Матричная экспонента и её основные свойства.
  32. Экспоненциальное отображение на множестве симметричных матриц.
  33. Дифференциал экспоненты.
  34. Логарифм матрицы.
  35. Формулы для произведений матричных экспонент.
  36. Однопараметрические подгруппы линейной группы Ли.
  37. Алгебра Ли линейной группы Ли. Примеры.
  38. Связь присоединенных представлений группы и алгебры Ли.
  39. Линейные группы Ли как подмногообразия.
  40. Формула Кемпбелла--Хаусдорфа.
  41. Алгебры Ли и их дифференцирования.
  42. Представления алгебр Ли. Присоединённое и производное представления.
  43. Дифференциал непрерывного гомоморфизма линейных групп Ли.
  44. Пример гомоморфизма $SU(2)$ на $SO(3)$.
  45. Нильпотентные и разрешимые алгебры Ли (определения и основные примеры).
  46. Нильпотентные представления алгебры Ли. Теорема Энгеля.
  47. Разрешимые идеалы. Теорема Ли о представлении комплексной разрешимой алгебры Ли.
  48. Простые и полупростые алгебры Ли. Форма Киллинга.
  49. Критерий Картана.
  50. Теорема о полупростоте алгебры Ли.
  51. Модулярная функция на группе Ли.
  52. Унимодулярность групп Ли.
  53. Интеграл Хаара в окрестности единицы группы Ли.
  54. Паракомпактность
  55. Линделёфовость и ее связь с паракомпактность.
  56. Разбиение единицы. Приложения к группам Ли.
  57. Обзор основных структур теории дифференцируемых многообразий (дифференциальная структура, касательные и кокасательные пространства, дифференцируемые отображения, $\theta$-связность векторных полей, аффинные связности, параллельный перенос и геодезические, экспоненциальное отображение).
  58. Производная Ли векторных полей и дифференциальных форм.
  59. Вполне интегрируемые распределения. Формы Пфаффа. Формула Маурера-Картана.
  60. Теорема Фробениуса. Приложение к группам Ли.
  61. Общие группы Ли и их алгебры Ли.
  62. Левоинвариантные аффинные связности на группе Ли. Экспоненциальное отображение на группе Ли. Однопараметрические подгруппы Ли.

Литература

  1. А.Барут, Р.Рончка. Теория представления групп и ее приложения, т.1, Мир, 1980.
  2. D.Bump. Lie groups. Springer. 2004.
  3. J.Faraut. Analysis on Lie groups. An introduction. Cambridge. 2008.
  4. T.Frankel. The geometry of physics. An introduction. Cambridge. 1997, 2004.
  5. Л.Люмис. Введение в абстрактный гармонический анализ. ИЛ. 1956.
  6. М.М.Постников. Группы и алгебры Ли. Наука. 1982.
  7. Р.Рихтмайер. Принципы современной математической физики, т.2, Мир, 1984.
  8. B.Simon, Representations of finite and compact groups. AMS, 1996.
  9. М.Хамермеш. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. Мир, 1966.
  10. С.Хелгасон. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. Факториал. 2005.
  11. С.Хелгасон. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. Мир. 1964.
  12. Э.Хьюитт, К.Росс. Абстрактный гармонический анализ. т.1. Наука. 1975.
  13. К.Шевалле. Теория групп Ли. т.1. ИЛ. 1948.
  14. Р.Энгелькинг. Общая топология. Мир. 1986.