Формы и их внешнее произведение

Внешняя $k$ -форма в $\mathbb{R}^{n}$ это функция $k$ векторных аргументов $\mathbf{h}_{1},\ldots \mathbf{h}_{k}$ , линейно зависящая от каждого аргумента и антисимметричная. Последнее означает, что $k$ -форма обращается в ноль всякий раз, когда какие-либо два ее аргумента совпадают. В условиях полилинейности это означает, что $k$ -форма меняет знак при перестановке местами двух аргументов. Множество внешних $k$ -форм образует линейное пространство с базисом из форм

$$dx_{i_{1}}\wedge dx_{i_{2}}\wedge\ldots\wedge dx_{i_{k}} , \qquad i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k} .$$

Последние определяются равенствами

$$dx_{i_{1}}\wedge \ldots\wedge dx_{i_{k}} ( \mathbf{e}_{j_{1}}, \l... ...,\ 0,& \text{в остальных случаях при }\quad j_{1}<\ldots <j_{k} , \end{cases}$$

где $( \mathbf{e}_{1},\ldots \mathbf{e}_{n})$ -- базис в $\mathbb{R}^{n}$ . Дифференциальные $k$ -формы это функции точки $\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{n}$ , принимающие значения в пространстве внешних $k$ -форм. Таким образом, дифференциальная $k$ -форма $\omega$ это внешняя форма

$$\omega= \sum_{i_{1}<\ldots <i_{k}} f_{i_{1}\ldots i_{k}} dx_{i_{1}}\wedge \ldots\wedge dx_{i_{k}}$$

с функциональными коэффициентами $f_{i_{1}\ldots i_{k}}$ , зависящими от $\mathbf{x}$ . Если $\alpha_{1} ,\ldots \alpha_{k}$ -- 1-формы, через $\alpha_{1}\wedge\ldots\wedge \alpha_{k}$ обозначается $k$ -форма, определенная равенством

$$\alpha_{1}\wedge\ldots\wedge\alpha_{k} ( \mathbf{h}_{1},\ldots \mathbf{h}_{k})= \det (\alpha_{i} ( \mathbf{h}_{j})) .$$

Такие формы называются мономами. По определению полагают

$$(\alpha_{1}\wedge\ldots\wedge\alpha_{k})\wedge (\beta_{1}\wedge\l... ..._{1}\wedge\ldots \wedge\alpha_{k}\wedge\beta_{1}\wedge\ldots \wedge\beta_{m} .$$

По линейности операция внешнего произведения $\wedge$ распространяется на произвольные формы, при этом

$$\alpha\wedge\beta= (-1)^{km}\beta\wedge\alpha ,$$

где $\alpha$ и $\beta$ , соответственно, $k$ и $m$ -формы.