Задача

Пусть $\alpha=x dx+y dz-z dy ,\;\beta=y dx+z dy+x dz$ . Найти значение формы $\alpha\wedge\beta$ в точке $\mathbf{x}(1,3,-2)$ на векторах $\mathbf{h}= (1,1,1)$ и $\mathbf{k}= (1,0,-1)$ .

Решение.

$$\alpha_{\mathbf{x}} ( \mathbf{h}) =1\cdot 1+3\cdot 1- (-2)\cdot 1=6 , \alpha_{\mathbf{x}} (\mathbf{k}) =1\cdot 1+3\cdot (-1)- (-2)\cdot 0=-2 ,$$

$$\beta_{\mathbf{x}} ( \mathbf{h}) =3\cdot 1+ (-2)\cdot 1+ 1\cdot 1=2 , \beta_{\mathbf{x}} (\mathbf{k}) =3\cdot 1+(-2)\cdot 0+ 1\cdot (-1) =2 ,$$

откуда

$$(\alpha\wedge\beta)_{\mathbf{x}} (\mathbf{h}, \mathbf{k})= \begin{vmatrix}6&-2\ 2&2 \end{vmatrix}=16 .$$

$\qedsymbol$