Задача

Проверить, что форма $\omega=2z dy\wedge dz-x dz\wedge dx+xy dx\wedge dy$ замкнута и найти ее потенциал.

Решение. Замкнутость очевидна:

$$d\omega=2 dz\wedge dy\wedge dz-dx\wedge dz\wedge dx+ y dx\wedge dx\wedge dy+ x dy\wedge dx\wedge dy=0 .$$

Потенциал найдем по формуле Пуанкаре

$$\begin{multline*} \alpha= \int\limits_{0}^{1}dt t [2tz (y dz-z dy)-tx (z dx-... ...igr) dy+\Bigl( \frac{1}{3} x^{2}+ \frac{2}{3} yz\Bigr) dz . \end{multline*}$$

$\qedsymbol$