Задача

Проверить, что форма $\omega=2zx dx+2zy dy+ (x^{2}+y^{2}) dz$ замкнута и найти ее потенциал.

Решение.

$$d\omega=2x dz\wedge dx+2y dz\wedge dy+2x dx\wedge dz+2y dy\wedge dz=0 ,$$

что доказывает замкнутость формы. Найдем ее потенциал:

$$\alpha= \int\limits_{0}^{1}dt [2tz\cdot tx\cdot x+2tz\cdot ty\cdot y+ ((tx)^{2} + (ty)^{2})z] =z(x^{2}+y^{2}) .$$

$\qedsymbol$