Задача

Найти циркуляцию поля $\mathbf{F}=xy\vec i+yz\vec j+xz\vec k$ на контуре $\Gamma$

$$x^{2}+y^{2}=1 ,\quad x+y+z=1 ,$$

положительно ориентированном на верхней стороне плоскости.

Решение. Параметризация, согласованная с требуемой ориентацией имеет, например, вид

$$x=\cos\varphi ,\quad y=\sin\varphi ,\quad z=1-\cos\varphi-\sin\varphi , \qquad \varphi\in[0,2\pi].$$

Тогда

$$\begin{multline*} \int\limits_{\Gamma}xy dx+yz dy+xz dz= \int\limits_{0}^{2\p... ...in\varphi)\cdot (\sin\varphi-\cos\varphi)] d\varphi\\ =-\pi . \end{multline*}$$

$\qedsymbol$