Задача

Найти поверхностный интеграл

$$\iint\limits_{\Gamma }\frac{dy\wedge dz}{x}+ \frac{dz\wedge dx}{y}+ \frac{dx \wedge dy}{z} ,$$

где $\Gamma$ -- поверхность эллипсоида

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}+ \frac{z^{2}}{c^{2}}=1 ,$$

ориентированная внешней нормалью.

Решение. Параметризуем поверхность эллипсоида равенствами

$$x=a\cos\varphi\sin\theta ,\quad y=b\sin\varphi\sin\theta ,\quad z=c\cos\theta , \quad \varphi\in[0,2\pi) ,\quad \theta\in[0,\pi] .$$

Ориентация внешней нормалью приводит к следующему порядку локальных координат: $(\theta,\varphi)$ . Обозначая параметризацию через $\Theta$ , найдем сужение базисных форм на поверхность эллипсоида:

$$\Theta^{*} (dy\wedge dz) =bc (\cos\varphi\sin\theta d\varphi+\sin\varphi\cos\theta d\theta) \wedge (-\sin\theta)d\theta$$

$$=bc\sin^{2}\theta\cos\varphi d\theta\wedge d\varphi$$

$$\Theta^{*} (dz\wedge dx) =ac (-\sin\theta)d\theta \wedge (-\sin\varphi\sin\theta d\varphi+\cos\varphi\cos\theta d\theta)$$

$$=ac\sin^{2}\theta\sin\varphi d\theta\wedge d\varphi$$

$$\Theta^{*} (dx\wedge dy) =ab(-\sin\varphi\sin\theta d\varphi+\cos\varphi\cos\theta d\theta) \wedge (\cos\varphi\sin\theta d\varphi+\sin\varphi\cos\theta d\theta)$$

$$=ab\cos\theta\sin\theta d\theta\wedge d\varphi .$$

Тогда

$$\begin{multline*} \iint\limits_{\Gamma }\frac{dy\wedge dz}{x}+ \frac{dz\wedge dx... ...\ =4\pi\left[\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+ \frac{ab}{c} \right] . \end{multline*}$$

$\qedsymbol$