Задача

Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности $z=2xy$ . Вычислить ее среднюю и гауссову кривизну в точке $(0,0,0)$ .

Решение:

В качестве локальных координат на поверхности выбираем $(x,y)$ :

$$\theta= \begin{pmatrix}x\ y\ 2xy \end{pmatrix} .$$

Находим касательные вектора:

$$\tau_{x}=\frac{\partial \theta}{\partial x}= \begin{pmatrix}1\ 0... ...=\frac{\partial \theta}{\partial y}= \begin{pmatrix}0\ 1\ 2x \end{pmatrix} .$$

Тогда

$$E=\tau_{x}^{2}=1+4y^{2} ,\qquad F=\tau_{x}\cdot\tau_{y}=4xy ,\qquad G=\tau_{y}^{2}=1+4x^{2}$$

и первая квадратичнсая форма определена равенством

$$ds^{2}=E dx^{2}+2F dxdy+G dy^{2} .$$

Вычислим, далее:

$$\frac{\partial^{2 }\theta}{\partial x^{2}}=\vec 0 ,\qquad \frac{... ... 2 \end{pmatrix} ,\qquad \frac{\partial^{2 }\theta}{\partial y^{2}}=\vec 0 .$$

Найдем единичный нормальный вектор к поверхности:

$$\vec n=\frac{\tau_{x} \times \tau_{y}}{\vert\tau_{x} \times \tau_{y}\vert}= \frac{(-2y,-2x,1)}{\sqrt{1+4x^{2}+4y^{2}}} .$$

Тогда

$$L= \frac{\partial^{2}\theta}{\partial x^{2}}\cdot \vec n=0 ,\qua... ...^{2}+4y^{2}}} ,\quad N=\frac{\partial^{2}\theta}{\partial x^{2}}\cdot \vec n=0$$

и вторая квадратичная форма определена равенством

$$b=L dx^{2}+2M dxdy+N dy^{2} .$$

В точке $(0,0,0)$ матрица метрического тензора равна

$$g= \begin{pmatrix}E&F\ F&G \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0\ 0&1 \end{pmatrix} .$$

Тогда матрица отображения Вейнгартена равна

$$\mathcal{L}=g^{-1} \begin{pmatrix}L&M\ M&N \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2\ 2&0 \end{pmatrix} .$$

Средняя и полная кривизны в этой точке, соответственно, равны

$$H=\mathrm{tr} \mathcal{L}=0 ,\qquad K=\det \mathcal{L}=-4 .$$