Задача

Найти первую и вторую квадратичные формы поверхности. Вычислить ее полную (гауссову) кривизну.

$$\mathbf{r}=u\vec\rho(v) ,$$

где $v$ -- естественный параметр на кривой $\mathbf{r}=\vec\rho(v)$ .

Решение:

Находим касательные векторы:

$$\tau_{u}=\vec\rho , \qquad \tau_{v}=u\vec\rho '=u\vec\tau ,$$

где $\vec\tau$ -- единичный касательный вектор к кривой $\vec\rho$ . Тогда

$$E=\rho^{2} ,\qquad F=u\vec\rho\cdot\vec\tau ,\qquad G=u^{2} ,$$

где $\rho=\vert\vec\rho\vert$ .

Далее,

$$\frac{\partial^{2 } \mathbf{r}}{\partial u^{2}}=\vec 0 ,\qquad \... ...quad \frac{\partial^{2 } \mathbf{r}}{\partial v^{2}}=u \vec\tau '=uk\vec\nu ,$$

где $k$ и $\vec\nu$ -- кривизна и вектор главной нормали к кривой $\vec\rho$ .

Найдем единичный нормальный вектор к поверхности:

$$\vec n=\frac{\tau_{u} \times \tau_{v}}{\vert\tau_{u} \times \tau_{v}\vert}= \frac{\vec\rho \times \vec\tau}{\vert\vec\rho\times \vec\tau\vert} .$$

Тогда

$$L=0 ,\quad M= \frac{\vec\tau\vec\rho\vec\tau}{\vert\vec\rho\time... ...0,\quad N=\frac{uk\vec\nu\vec\rho\vec\tau}{\vert\vec\rho\times\vec\tau\vert} .$$

Полная кривизна

$$K= \frac{LN-M^{2}}{EG-F^{2}}=0 .$$