Задача

Найти полную (гауссову) кривизну поверхности с первой кводратичной формой

$$ds^{2}=4u^{2} du^{2}+(1+u^{2}) dv^{2} .$$

Решение:

Если

$$ds^{2}=du^{2}+G(u) dv^{2} ,$$

то, как известно, полная кривизна равна

$$K=- \frac{( \sqrt{G})''}{ \sqrt{G}} .$$

Чтобы воспользоваться этой формулой сделаем замену локальной координаты: $w=u^{2}$ , тогда

$$ds^{2}=dw^{2}+(1+w) dv^{2} .$$

Следовательно,

$$K=\frac{1}{4(1+w)^{2}}=\frac{1}{4(1+u^{2})^{2}} .$$