Задача

Найти момент инерции однородной окружности

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} ,\quad x+y+z=R$$

относительно плоскости $XOZ$ .

Решение. Обозначим окружность через $\Gamma$ , плотность через $\rho$ , искомый момент через $I$ . Отметим, что данная окружность описана около равностороннего треугольника со стороной $R\sqrt{2}$ , следовательно, ее радиус равен $R \sqrt{\frac{2}{3}}$ . Тогда

$$I= \int\limits_{\Gamma}y^{2}\rho dl=\rho \int\limits_{\Gamma}y^{... ...dl= \frac{\rho R^{2}l (\Gamma)}{3}= \frac{2\pi R^{3}}{3} \sqrt{ \frac{2}{3}} .$$

$\qedsymbol$