Задача

Найти координаты центра тяжести однородной полуокружности

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} ,\quad y=x , \quad x\geqslant0 .$$

Решение. Обозначим полуокружность через $\Gamma$ , плотность через $\rho$ , искомые координаты через $x_{0},y_{0},z_{0}$ . По соображениям симметрии

$$x_{0}=y_{0} ,\quad z_{0}=0 .$$

Зададим параметризацию $\Gamma$ равенствами

$$x=\frac{R}{\sqrt{2}} \sin\theta ,\quad y= \frac{R}{\sqrt{2}}\sin\theta , \quad z=R\cos\theta , \quad 0\leqslant\theta\leqslant\pi .$$

Тогда

$$M (\Gamma)= \int\limits_{\Gamma}\rho dl=\rho \int\limits_{0}^{\p... ...ta+R^{2}\sin^{2}\theta} d\theta =\rho R \int\limits_{0}^{\pi}d\theta=\rho R\pi$$

и

$$x_{0}= \frac{\int\limits_{\Gamma}x\rho dl}{M (\Gamma)}= \frac{1}... ...c{R}{\pi\sqrt{2}} (-\cos\theta)\Bigl\vert _{0}^{\pi}= \frac{R \sqrt{2}}{\pi} .$$

$\qedsymbol$