Задача

Найти скорость изменения формы потока вектора $\mathbf{b}= (x,1)$ на траекториях системы

$$x'=x+y ,\qquad y'=-x$$

в начальный момент времени.

Решение. Форма потока вектора $\mathbf{b}$ равна $\omega= \imath_{\mathbf{b}} (dx\wedge dy) =x dy-dx$ . Введем вектор $\mathbf{v}= (x+y,-x)$ фазового потока $\theta_{t}$ , определяющего эволюцию системы. Производная Ли формы $\omega$ по вектору $\mathbf{v}$ равна

$$\begin{multline*} \mathcal{L}_{\mathbf{v}}\omega= (d\imath_{\mathbf{v}}+\imath_... ...= -2x dx-dx-dy+ (x+y) dy+x dx\\ =- (x+1) dx+ (x+y-1) dy . \end{multline*}$$

Поскольку $\theta_{0}=I$ , по формуле Картана

$$\frac{d}{dt} \theta_{t}^{*}\omega \Bigl\vert _{t=0} =\theta_{0}^{*} \mathcal{L}_{\mathbf{v}}\omega= - (x+1) dx+ (x+y-1) dy .$$

$\qedsymbol$