Задача

Найти момент инерции однородной полуокружности $x^{2}+y^{2}=R^{2}, \; y\geqslant0$ , относительно оси $OX$ .

Решение. Обозначим полуокружность через $\Gamma$ , плотность через $\rho$ , а искомый момент через $I$ . Параметризация окружности может быть определена равенствами

$$x=R\cos t ,\quad y=R\sin t ,\quad 0\leqslant t\leqslant\pi .$$

Тогда

$$I= \int\limits_{\Gamma}y^{2}\rho dl= \rho\int\limits_{0}^{\pi} (... ... R^{3}\int\limits_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2t}{2} dt=\frac{\rho\pi R^{3}}{2} .$$

$\qedsymbol$